Matura z Matematyki 2025: Pewniaki i Zmiany

Matura z matematyki to dla wielu uczniów jedno z największych wyzwań. Niezależnie od dalszych planów edukacyjnych czy zawodowych, jest to przedmiot obowiązkowy na egzaminie dojrzałości, co oznacza, że każdy musi się z nim zmierzyć. Nawet jeśli Twoim celem jest jedynie przekroczenie minimalnego progu 30%, odpowiednie przygotowanie jest kluczowe. Nie trać cennych punktów z powodu braku znajomości podstawowych zagadnień!

Kluczem do sukcesu jest znajomość tak zwanych „pewniaków maturalnych” – obszarów, z których zadania niemal zawsze pojawiają się na egzaminie. Opanowanie ich to gwarancja łatwych i szybkich punktów. Ale to nie wszystko. Warto również być na bieżąco ze zmianami w wymaganiach egzaminacyjnych, zwłaszcza tych wprowadzanych od matury 2025. Ten artykuł pomoże Ci skutecznie zaplanować powtórki, skupiając się na najważniejszych elementach i informując o modyfikacjach w programie.

Co warto powtórzyć przed maturą z matematyki? Pewniaki maturalne

Poniżej znajdziesz obszary i zagadnienia, na które warto zwrócić szczególną uwagę. Są to tematy, które regularnie pojawiają się w arkuszach maturalnych i ich opanowanie znacznie zwiększy Twoje szanse na pozytywny wynik.

Algebra

Algebra to fundament matematyki i nieodłączna część każdego egzaminu maturalnego. Skup się na podstawach, które są bazą do rozwiązywania bardziej złożonych problemów. Ważne jest nie tylko znajomość wzorów, ale także umiejętność ich zastosowania w praktyce.

• Rozwiązywanie równań i nierówności: Szczególną uwagę poświęć równaniom kwadratowym. Ćwicz różne metody ich rozwiązywania – zarówno za pomocą wyróżnika (delty), jak i przez rozkład na czynniki czy wyłączanie wspólnego czynnika. Pamiętaj o równaniach liniowych i wielomianowych, które często wymagają sprowadzenia do prostszej postaci.
• Wyrażenia algebraiczne: Powtórz działania na ułamkach algebraicznych (upraszczanie, dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie), a także potęgi i pierwiastki. Zrozumienie wzorów skróconego mnożenia jest absolutną podstawą.

Przykładowe zadania:

1. Równania kwadratowe: Rozwiąż równanie x²−5x+6=0. Przypomnij sobie, jak używać delty oraz jak rozkładać trójmian kwadratowy na czynniki liniowe.
2. Równania i nierówności liniowe: Znajdź wszystkie wartości x, dla których 3x−7 > 5x+1. Kluczowe jest tutaj sprawne przenoszenie wyrazów na odpowiednie strony nierówności.
3. Ułamki algebraiczne: Uprość wyrażenie: (2x²-8) / (x²-4) i podaj warunki, dla których jest ono określone. Pamiętaj o dziedzinie!
4. Równania wielomianowe: Znajdź wszystkie rozwiązania równania: x³-6x²+11x-6=0. Spróbuj szukać pierwiastków wśród dzielników wyrazu wolnego.

Geometria

Geometria, zarówno płaska, jak i analityczna, to kolejny dział, który zawsze pojawia się na maturze. Skup się na figurach podstawowych i kluczowych twierdzeniach.

• Geometria płaska: Opanuj wzory na pola i obwody trójkątów (równobocznych, prostokątnych), kwadratów, prostokątów i okręgów. Ważne są też twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie Talesa. Ćwicz zadania z kątami w okręgu.
• Geometria analityczna: Umiejętność pracy z układem współrzędnych jest niezbędna. Powtórz równania prostych (kierunkowe i ogólne) oraz okręgów. Obliczanie odległości między punktami i wyznaczanie środków odcinków to standard.

Przykładowe zadania:

1. Trójkąty: Oblicz pole trójkąta równobocznego o boku 6 cm. Pamiętaj o wzorze na wysokość w trójkącie równobocznym.
2. Okręgi: Znajdź długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku 8 cm. Zastanów się nad zależnością między bokiem kwadratu a średnicą okręgu wpisanego.
3. Własności trójkątów: Wykaż, że w trójkącie prostokątnym wysokość opuszczona z kąta prostego dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty, które są podobne do trójkąta wyjściowego oraz do siebie nawzajem.
4. Twierdzenie cosinusów: Oblicz długość trzeciego boku trójkąta, znając długości dwóch boków oraz miarę kąta między nimi.

Funkcje

Funkcje, choć często znienawidzone, są niezwykle ważnym elementem egzaminu maturalnego. Kluczem jest zrozumienie ich podstawowych właściwości i umiejętność interpretacji wykresów.

• Typy funkcji: Skup się na funkcji liniowej, kwadratowej i wykładniczej. Zrozumienie ich charakterystycznych cech, takich jak monotoniczność, miejsca zerowe, dziedzina i zbiór wartości, jest niezbędne.
• Wykresy: Ćwicz rysowanie wykresów funkcji oraz odczytywanie z nich informacji. Pamiętaj o przesunięciach wykresów (wzory y = f(x-a), y = f(x) + b).

Przykładowe zadania:

1. Funkcja liniowa: Narysuj wykres funkcji y=2x−3 i określ jej miejsce zerowe.
2. Funkcja kwadratowa: Wyznacz wierzchołek paraboli opisanej funkcją y=x²−4x+3. Pamiętaj o wzorach na współrzędne wierzchołka.
3. Funkcja odwrotna: Znajdź funkcję odwrotną do funkcji f(x)=2x+3 i określ jej dziedzinę oraz zbiór wartości.
4. Funkcja wykładnicza: Rozwiąż równanie 2^x+1=32. Pamiętaj o sprowadzaniu podstaw potęg do tej samej liczby.

Statystyka i prawdopodobieństwo

Zadania z zakresu statystyki i prawdopodobieństwa to kolejne pewniaki, często pojawiające się na maturze. Ich rozwiązywanie wymaga zarówno znajomości definicji, jak i umiejętności logicznego myślenia.

• Statystyka opisowa: Powtórz pojęcia takie jak średnia arytmetyczna, mediana i moda. Umiejętność ich obliczania dla zestawu danych jest podstawą.
• Rachunek prawdopodobieństwa: Zrozum podstawowe zasady kombinatoryki (permutacje, kombinacje) oraz rachunku prawdopodobieństwa w modelu klasycznym. Ćwicz zadania z rzutami kostką, losowaniem kul czy kart.

Przykładowe zadania:

1. Statystyka: Oblicz średnią arytmetyczną i medianę dla ocen: 2, 3, 3, 4, 5, 6.
2. Prawdopodobieństwo: Jaka jest szansa rzucenia co najmniej jednej „szóstki” przy trzech rzutach standardową sześcienną kostką do gry?
3. Permutacje: Na ile różnych sposobów można ustawić 5 książek na półce?

Równania i układy równań

Równania i układy równań liniowych to niemal co roku nieodzowna część matury z matematyki. Ich opanowanie jest fundamentalne.

• Metody rozwiązywania: Opanuj metody podstawiania i przeciwnych współczynników dla układów równań liniowych. Umiejętność interpretacji graficznej układów może być dodatkowym atutem.
• Równania specjalne: Ćwicz równania z parametrem, logarytmiczne oraz z wartością bezwzględną. Pamiętaj o dziedzinie przy równaniach wymiernych.

Przykładowe zadania:

1. Równania z parametrem: Dla jakich wartości parametru m równanie mx−4=0 ma dokładnie jedno rozwiązanie?
2. Równania logarytmiczne: Rozwiąż równanie log₂(x)+log₂(x-3)=2. Pamiętaj o warunkach istnienia logarytmu.
3. Równania z wartością bezwzględną: Rozwiąż równanie zawierające wartość bezwzględną ∣2x−3∣=7. Rozważ dwa przypadki: gdy wyrażenie w module jest dodatnie i ujemne.
4. Równania wymierne: Rozwiąż równanie (x+2)/(x-1) = x/(x-2). Pamiętaj o wyznaczeniu dziedziny.

Zadania typu „ABC” – Test wyboru na maturze

Przygotowanie do matury na poziomie podstawowym wymaga również skupienia się na zadaniach zamkniętych, czyli pytaniach wyboru. Ich specyfika polega na tym, że często wymagają szybkiej analizy i wyeliminowania błędnych odpowiedzi, a nie pełnego rozwiązania. Oto kilka przykładów zadań, które mogą pojawić się w tej formie:

1. Funkcja liniowa: Funkcja liniowa f(x)=ax+b jest malejąca. Która z poniższych nierówności jest zawsze prawdziwa?
   • a>0
   • a<0
   • b>0
   • b<0
2. Twierdzenie Pitagorasa: W trójkącie prostokątnym długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi. Jaka jest długość najdłuższego boku tego trójkąta?
   • 4
   • 5
   • 6
   • 7
3. Prawdopodobieństwo: Rzucamy dwiema standardowymi kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek będzie równa 8?
   • 5/36
   • 1/6
   • 1/12
   • 1/18
4. Równania kwadratowe: Ile różnych rozwiązań ma równanie x²-4x+4=0?
   • 0
   • 1
   • 2
   • Nieskończenie wiele
5. Procenty: Towar przed obniżką kosztował 200 zł. Po dwukrotnej obniżce ceny o 10%, jaka jest obecna cena towaru?
   • 160 zł
   • 162 zł
   • 180 zł
   • 184 zł
6. Geometria analityczna: Punkt A(3,−2) leży na prostej o równaniu:
   • y = 2x−8
   • y = −2x+7
   • y = 1/2x-3
   • y = -1/2x-1
7. Funkcja kwadratowa: Wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej x²-6x+9, ma współrzędne:
   • (3,0)
   • (3,−9)
   • (−3,9)
   • (0,3)
8. Statystyka: Średnia arytmetyczna pięciu liczb: 2, 3, x, 4, 5 wynosi 4. Wartość x to:
   • 2
   • 6
   • 8
   • 10
9. Równania i nierówności: Rozwiązaniem nierówności 3x−5<2(x−1) jest:
   • x<3
   • x>3
   • x<4
   • x>4
10. Procenty i ułamki: Ile procent liczby 1/2 stanowi liczba 1/4?
    • 25%
    • 50%
    • 75%
    • 200%

Co wyrzucono z matury z matematyki 2025? Zmiany w podstawie programowej

Przygotowanie do egzaminu maturalnego wymaga znajomości aktualnych wymagań. Wymagania maturalne zmieniają się na przestrzeni lat, dlatego warto poświęcić czas na zapoznanie się z tym, co będzie obowiązywało na maturze w formule 2025. Poniżej znajdziesz spis wymagań szczegółowych Centralnej Komisji Egzaminacyjnej z zakresu podstawowego i rozszerzonego, wraz z wyróżnieniem zmian względem poprzednich lat.

Wymagania szczegółowe CKE z zakresu podstawowego (Formuła 2025)

Warto zwrócić uwagę na zagadnienia, które zostały przeniesione z poziomu rozszerzonego do podstawowego, a także na te, które są zupełnie nowe lub zostały usunięte.

• I. Liczby rzeczywiste. Uczeń:
  • wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;
  • przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż: a) dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych, b) dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej;
  • stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych;
  • stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach;
  • stosuje własności monotoniczności potęgowania;
  • posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej;
  • stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania i nierówności;
  • wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat (względem matury 2024 odeszło natomiast obliczanie kosztów kredytów);
  • stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi (zagadnienia logarytmiczne były wcześniej bardziej rozbudowane w zakresie rozszerzonym).
• II. Wyrażenia algebraiczne. Uczeń:
  • stosuje wzory skróconego mnożenia;
  • dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych;
  • wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej;
  • mnoży i dzieli wyrażenia wymierne;
  • Usunięto natomiast rozkładanie wielomianów na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów w przypadkach nie trudniejszych niż rozkład wielomianu. Ponadto nie znajduje się w niej również dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych, w przypadkach nie trudniejszych niż: (x-1)/(x-2) + (x+1)/(x+2).
• III. Równania i nierówności. Uczeń:
  • przekształca równania i nierówności w sposób równoważny;
  • interpretuje równania i nierówności sprzeczne oraz tożsamościowe;
  • rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą;
  • rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe;
  • Względem matury 2024 zostało usunięte rozwiązywanie nierówności typu: |x-2| < 3 oraz rozwiązywanie równań wielomianowych, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania, a także rozwiązywanie równań wymierne postaci V(x)/W(x) = 0, gdzie wielomiany V(x) i W(x) są zapisane w postaci iloczynowej.
• IV. Układy równań. Uczeń:
  • rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych;
  • stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.
• V. Funkcje. Uczeń:
  • określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach);
  • oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym;
  • odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie;
  • odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;
  • interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;
  • wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach;
  • szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;
  • interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);
  • wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;
  • wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;
  • wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym;
  • na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x-a), y = f(x) + b;
  • posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych;
  • posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi (przeniesione z rozszerzenia).
  • W maturze 2025 nie znajdziemy już jednak zadań związanych ze szkicowaniem funkcji y = - f(x), y = f (-x) na podstawie wykresu y=f(x).
• VI. Ciągi. Uczeń:
  • oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;
  • oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie;
  • w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący;
  • sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;
  • stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;
  • stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;
  • wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.
• VII. Trygonometria. Uczeń:
  • wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°;
  • korzysta z wzorów na jedynkę trygonometryczną oraz tg;
  • stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta z wykorzystaniem sinusa (przeniesione z rozszerzenia);
  • oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).
• VIII. Planimetria. Uczeń:
  • wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;
  • rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;
  • rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności;
  • korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach;
  • stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;
  • stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu;
  • stosuje twierdzenia: Talesa;
  • korzysta z cech podobieństwa trójkątów;
  • wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;
  • wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności (przeniesione z rozszerzenia);
  • stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur;
  • przeprowadza dowody geometryczne (nowe zagadnienie).
  • W przyszłorocznej maturze nie znajdziemy jednak zadań, w których należałoby wykorzystać twierdzenia o dwusiecznej kąta oraz o kącie między styczną a cięciwą.
• IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń:
  • rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje;
  • posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej);
  • oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych;
  • posługuje się równaniem okręgu (przeniesione z rozszerzenia);
  • wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych) (przeniesione z rozszerzenia).
  • Uczeń nie będzie musiał już jednak na poziomie podstawowym obliczać odległości punktu od prostej.
• X. Stereometria. Uczeń:
  • rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;
  • posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami;
  • rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;
  • rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;
  • oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii;
  • wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.
• XI. Kombinatoryka. Uczeń:
  • zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;
  • zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności w sytuacjach nie trudniejszych niż: a) obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2, b) obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.
• XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Uczeń:
  • oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym;
  • oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę;
  • Z przyszłorocznej podstawy zniknął jednak wymóg obliczania odchylenia standardowego zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych) oraz interpretacja tego parametru dla danych empirycznych.
• XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Uczeń:
  • rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

Wymagania szczegółowe CKE z zakresu rozszerzonego (Formuła 2025)

W przypadku zakresu rozszerzonego uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego oraz ponadto:

• I. Liczby rzeczywiste. Uczeń:
  • stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu.
• II. Wyrażenia algebraiczne. Uczeń:
  • dzieli wielomian jednej zmiennej W(x) przez dwumian postaci x - a;
  • rozkłada wielomiany na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów (przeniesione z podstawy);
  • znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych;
  • stosuje podstawowe własności trójkąta Pascala oraz następujące własności współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona);
  • korzysta ze wzorów na sumę dwóch wyrazów podniesionych do potęgi trzeciej, na sumę bądź różnicę dwóch wyrazów podniesioną do n-tej potęgi;
  • dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne, np.: x/(x-1) + (x+1)/(x-2) (przeniesione z podstawy).
• III. Równania i nierówności. Uczeń:
  • rozwiązuje nierówności wielomianowe dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania (przeniesione z podstawy);
  • rozwiązuje równania i nierówności wymierne, które dadzą się sprowadzić do równania lub nierówności liniowej lub kwadratowej;
  • stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych;
  • rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną (przeniesione z podstawy);
  • analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów, podaje warunki, przy których rozwiązania mają żądaną własność, i wyznacza rozwiązania w zależności od parametrów;
  • rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe;
  • rozwiązuje równania wymierne postaci V(x)/W(x) = 0, gdzie wielomiany V(x) i W(x) są zapisane w postaci iloczynowej (przeniesione z podstawy).
• IV. Układy równań. Uczeń:
  • rozwiązuje układy równań liniowych i kwadratowych z dwiema niewiadomymi, które można sprowadzić do równania kwadratowego lub liniowego, a które nie są trudniejsze niż: x+y=3, x²-y²=3.
• V. Funkcje. Uczeń:
  • na podstawie wykresu funkcji y = f(x) rysuje wykresy funkcji y = -f(x), y = f(-x) (przeniesione z podstawy);
  • posługuje się złożeniami funkcji;
  • dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem jest monotoniczna w przedziale;
  • Z podstawy usunięto natomiast rysowanie na podstawie wykresu funkcji y = f(x) wykresu funkcji y = |f(x)|.
• VI. Ciągi. Uczeń:
  • oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu oraz twierdzeń o granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych, a także twierdzenia o trzech ciągach;
  • rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.
• VII. Trygonometria. Uczeń:
  • stosuje miarę łukową, zamienia stopnie na radiany i odwrotnie;
  • posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens;
  • wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych;
  • stosuje wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych;
  • korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych;
  • rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne;
  • stosuje twierdzenie sinusów;
  • oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty).
• VIII. Planimetria. Uczeń:
  • stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu;
  • stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa.
• IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń:
  • znajduje punkty wspólne prostej i okręgu;
  • znajduje punkty wspólne dwóch okręgów;
  • zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość, dodaje wektory i mnoży wektor przez liczbę, oba te działania wykonuje zarówno analitycznie, jak i geometrycznie;
  • wyznacza równanie prostej prostopadłej do zadanej prostej i prostej stycznej do zadanego okręgu.
• X. Stereometria. Uczeń:
  • zna i stosuje twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny i o trzech prostopadłych;
  • wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola, także z wykorzystaniem trygonometrii.
• XI. Kombinatoryka. Uczeń:
  • oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji;
  • stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.
• XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Uczeń:
  • oblicza prawdopodobieństwo warunkowe i stosuje wzór Bayesa, stosuje twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym;
  • stosuje schemat Bernoullego.
• XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Uczeń:
  • oblicza granice funkcji (w tym jednostronne);
  • stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji;
  • stosuje definicję pochodnej funkcji, podaje interpretację geometryczną i fizyczną pochodnej;
  • oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej;
  • stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;
  • rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

Opis arkuszy egzaminacyjnych – ile czasu i punktów?

Warto również znać strukturę samego egzaminu, aby móc efektywnie zarządzać czasem podczas pisania matury. Poniżej przedstawiono ogólne informacje dotyczące arkuszy maturalnych z matematyki.

1) Poziom podstawowy

Na napisanie egzaminu maturalnego na poziomie podstawowym przewidziane jest 180 minut. Arkusz będzie się składać z od 29 do 40 zadań, natomiast całkowita możliwa do zdobycia liczba punktów będzie wynosić 50 punktów.

W arkuszu będzie można znaleźć zadania pojedyncze albo powiązane tematem, przy czym każde z zadań powiązanych będzie się dało rozwiązać niezależnie od wyniku z zadania poprzedniego.

2) Poziom rozszerzony

Czas przewidziany na napisanie matury z matematyki na poziomie rozszerzonym wynosić będzie również 180 minut. Łącznie będzie można w nim znaleźć od 10 do 14 zadań otwartych. W tym arkuszu także będą zadania pojedyncze lub powiązane o wspólnym kontekście tematycznym. Maksymalna liczba punktów do zdobycia na poziomie rozszerzonym to 50 punktów.

Najczęściej zadawane pytania (FAQ)

Czy matura z matematyki jest trudna?

Poziom trudności matury z matematyki jest subiektywny i zależy od indywidualnych predyspozycji i przygotowania ucznia. Dla wielu jest to wyzwanie, ale systematyczna praca i skupienie na kluczowych zagadnieniach (tzw. pewniakach maturalnych) mogą znacznie ułatwić jej zdanie. Zmiany w wymaganiach na rok 2025 mają na celu urealnienie zakresu materiału, co dla niektórych może oznaczać nieco łatwiejszą ścieżkę do sukcesu.

Jak długo powinno trwać powtarzanie materiału do matury z matematyki?

Nie ma jednej uniwersalnej odpowiedzi. Idealnie byłoby rozpocząć powtórki na kilka miesięcy przed egzaminem, poświęcając regularnie czas na rozwiązywanie zadań. Ważniejsza od długości jest systematyczność i jakość nauki. Krótkie, ale częste sesje powtórkowe są efektywniejsze niż intensywne maratony na ostatnią chwilę.

Czy wystarczy opanować tylko „pewniaki maturalne”?

Opanowanie „pewniaków maturalnych” to solidny fundament, który gwarantuje zdobycie dużej części punktów i zwiększa szanse na zdanie egzaminu. Jeśli Twoim celem jest minimalny próg 30%, może to być wystarczające. Jednak dla lepszego wyniku warto poszerzyć wiedzę o inne zagadnienia, zwłaszcza te, które są nowe lub przeniesione do podstawy z rozszerzenia. Pełne zrozumienie materiału i umiejętność rozwiązywania różnorodnych zadań to klucz do osiągnięcia wysokiego rezultatu.

Gdzie szukać dodatkowych materiałów do nauki i zadań?

Oficjalne informatory maturalne dostępne na stronie Centralnej Komisji Egzaminacyjnej (CKE) są najlepszym źródłem informacji o wymaganiach i przykładowych zadaniach. Warto również korzystać z arkuszy maturalnych z poprzednich lat (zwłaszcza tych po zmianach), repetytoriów maturalnych oraz platform edukacyjnych online oferujących kursy i zbiory zadań. Szukaj materiałów, które uwzględniają aktualne wymagania na rok 2025.

Podsumowanie

Znajomość „pewniaków maturalnych” to solidny fundament, ale pamiętaj, aby nie opierać się tylko na nich. Kluczem do sukcesu jest praktyka i zrozumienie. Rozwiązuj więc różnorodne zadania, aby zaznajomić się z możliwymi pułapkami i nauczyć się zarządzania czasem. Niezwykle ważne jest również bycie na bieżąco z aktualnymi wymaganiami maturalnymi, które na rok 2025 przynoszą pewne zmiany. Pamiętaj, że matematyka to nie tylko liczby, ale także logiczne myślenie i umiejętność analizy problemów. Wierzymy, że ten artykuł pomoże Ci przygotować się do maturalnego wyzwania i życzymy powodzenia na egzaminie!

Zainteresował Cię artykuł Matura z Matematyki 2025: Pewniaki i Zmiany? Zajrzyj też do kategorii Matematyka, znajdziesz tam więcej podobnych treści!